The Table of Chords and Greek Trigonometry

Abstract

Trigonometry was born due to the need of ancient astronomy to calculate and to predict the move-ment of the heavenly bodies. However it is hard to know who the founder of this mathematicalbranch was: it is likely that its origins date back to Hipparchus of Nicaea who compiled the first tableof chords, which are the forerunners of the modern trigonometric function “sine”. Nevertheless themost ancient existing work on trigonometry is the Almagest of Ptolemy in which the author describesthe mathematical steps that are necessary for the compilation of the table of chords. These stepsare based on more ancient theories and for this reason one gets the impression that they could bethe result of a preparatory study. This article is not only a brief survey of Greek trigonometry but italso analyzes the Greek numeration system, the sexagesimal fractions and the arithmetical operations which were used in the calculation of the chords.

Riassunto

La nascita della trigonometria è dovuta alla necessità degli astronomi antichi di calcolare i movimentidei corpi celesti. Più arduo è stabilire il nome del fondatore della disciplina: è molto probabile che lasua origine risalga ad Ipparco di Nicea, al quale è attribuita la prima tavola delle corde, antesignanedella moderna funzione trigonometrica “seno”, anche se il più antico testo esistente che contienecalcoli trigonometrici è solo l’Almagesto di Tolemeo. Tuttavia le conoscenze matematiche necessariealla costruzioni di tali tavole si basano su teorie più antiche e questo ha portato a credere che moltoprobabilmente esse siano il risultato finale di un lungo studio preparatorio. Questo articolo, oltre adanalizzare le principali proposizioni che sono alla base della trigonometria greca (compresa latrigonometria sferica esposta per la prima volta da Menelao), prende anche in considerazione il sis-tema greco di numerazione, le frazioni sessagesimali e le operazioni aritmetiche impiegate nellastesura e nel calcolo delle tavole.

Résumé

La naissance de la trigonométrie est due à la nécessité des astronomes anciens de calculer lesmouvements des corps célestes. Il est plus dur d’établir le nom du fondateur de cette discipline: ilest très probable que son origine remonte à Hipparque de Nicée, auquel est attribuée la premièretable des cordes, précurseurs de la moderne fonction trigonométrique “sinus”, même si le plusancien texte existant contenant des calculs trigonométriques n’est que l’Almageste de Ptolémée.Toutefois les connaissances mathématiques nécessaires à la construction de ces tables se basentsur des théories plus anciennes et ceci a amené à croire que, très probablement, elles sont le résul-tat final d’une longue étude préparatoire. Cet article, en plus d’analyser les principales propositionsqui sont à la base de la trigonométrie grecque (y compris la trigonométrie sphérique exposée pourla première fois par Ménélas), fait aussi entrer en ligne de compte le système grec de numération,les fractions sexagésimales et les opérations arithmétiques employées dans la rédaction et le cal-cul des tables.

Zusammenfassung

Die Entstehung der Trigonometrie geht auf die Notwendigkeit der antiken Astronomen zurück, dieBewegungen der Himmelskörper zu berechnen. Schwieriger ist es, den Namen des Gründers die-ser Disziplin festzustellen: Es ist sehr wahrscheinlich, dass ihr Ursprung auf Hipparchos von Nizäazurückgeht, dem die erste Sehnentafel zugeschrieben wird, Vorläuferin der modernen trigonometri-schen Funktion “Sinus”, auch wenn der älteste existierende antike Text mit trigonometrischenBerechnungen erst der Almagest von Ptolemäus ist. Jedoch beruhen die mathematischenKenntnisse, die für die Erstellung solcher Tafeln nötig waren, auf älteren Theorien; das lässt vermu-ten, dass sie sehr wahrscheinlich das Endergebnis einer langen vorbereitenden Forschung waren.Dieser Artikel analysiert nicht nur die wichtigsten Verhältnisgleichungen, die der griechischen Trigonometrie zu Grunde liegen (einschließlich der sphärischen  Trigonometrie, die erstmals vonMenelaos dargelegt wurde), sondern befasst sich auch mit dem griechischen Zahlensystem, denSexagesimalbrüchen und den arithmetischen Operationen, die zur Erstellung und Berechnung derTafeln benutzt wurden.

Resumen

La trigonometría debe su nacimiento a la necesidad de los antiguos astrónomos de calcular losmovimientos de los cuerpos celestes. Más difícil es establecer el nombre del fundador de la disci-plina: es muy probable que su origen se remonte a Hiparco de Nicea, a quien se atribuye la prime-ra tabla de cuerdas, precursora de la moderna función trigonométrica del “seno”, si bien el texto másantiguo conservado con cálculos trigonométricos es el Almagesto de Ptolomeo. Sin embargo, losconocimientos matemáticos necesarios para la construcción de dichas tablas se basan en teoríasmás antiguas, y esto ha llevado a creer que probablemente sean el resultado final de un largo estu-dio preparatorio. Este artículo, además de analizar las principales proposiciones sobre las que sesustenta la trigonometría griega (incluida la trigonometría esférica expuesta por vez primera porMenelao), toma también en consideración el sistema griego de numeración, las fracciones sexage-simales y las operaciones aritméticas utilizadas en la redacción y cálculo de las tablas.